Полей. Поле диполя
Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q 1 , Q 2 ,…, Q n .
Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q;.
Согласно (79.1), F = Q 0 E и F 1 = Q 0 E 1 , где Е - напряженность результирующего поля, а Е 1 - напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 . Подставляя последние выражения в (80.1), получаем
(80.2)
Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, - Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положи тельному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l. Вектор
(80.3)
совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q|на плечо 1, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом (рис. 122).
где Е + и Е_ - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.
Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна
Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать
Согласно определению диполя, l /2 ≪ г, поэтому
2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к осям из его середины, в точке В (рис. 123). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому
где г" - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е в, получим
(80.5)
Подставив в выражение (80.S) значение (80.4), получим
Вектор E g имеет направление, противоположное вектору электрического момента диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).
Теорема Гаусса для электростатического
Поля в вакууме
Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.
В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен
 |
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.
Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.
Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Бели замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.
Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e 0 , т. е.
(81.1)
Знак потока совпадает со знаком заряда Q.
Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому
Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q i /e 0 . Следовательно,
(81.2)
Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.
В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью p = dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,
(81.3)
Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:
Одна из задач, которые ставит электростатика перед собой – это оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. И принцип суперпозиции является одним из вариантов решения такой задачи.
Принцип суперпозиции
Предположим наличие трех точечных зарядов, находящихся во взаимодействии друг с другом. При помощи эксперимента возможно осуществить измерение сил, действующих на каждый из зарядов. Для нахождения суммарной силы, с которой на один заряд действуют два других заряда, нужно силы воздействия каждого из этих двух сложить по правилу параллелограмма. При этом логичен вопрос: равны ли друг другу измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, и совокупность сил со стороны двух иных зарядов, если силы рассчитаны по закону Кулона. Результаты исследований демонстрируют положительный ответ на этот вопрос: действительно, измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил согласно закону Кулона со стороны других зарядов. Данное заключение записывается в виде совокупности утверждений и носит название принципа суперпозиции.
Определение 1
Принцип суперпозиции :
- сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
- сила, действующая на точечный заряд со стороны двух других точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.
Принцип суперпозиции полей заряда является одним из фундаментов изучения такого явления, как электричество: значимость его сопоставима с важностью закона Кулона.
В случае, когда речь идет о множестве зарядов N (т.е. нескольких источников поля), суммарную силу, которую испытывает на себе пробный заряд q , можно определить по формуле:
F → = ∑ i = 1 N F i a → ,
где F i a → является силой, с которой влияет на заряд q заряд q i , если прочий N - 1 заряд отсутствует.
При помощи принципа суперпозиции с использованием закона взаимодействия между точечными зарядами существует возможность определить силу взаимодействия между зарядами, присутствующими на теле конечных размеров. С этой целью каждый заряд разбивается на малые заряды d q (будем считать их точечными), которые затем берутся попарно; вычисляется сила взаимодействия и в заключение осуществляется векторное сложение полученных сил.
Полевая трактовка принципа суперпозиции
Определение 2Полевая трактовка : напряженность поля двух точечных зарядов есть сумма напряженностей, создаваемым каждым из зарядов при отсутствии другого.
Для общих случаев принцип суперпозиции относительно напряженностей имеет следующую запись:
E → = ∑ E i → ,
где E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → является напряженностью i -го точечного заряда, r i → - радиусом вектора, проложенного от i -го заряда в некоторую точку пространства. Указанная формула говорит нам о том, что напряженность поля любого числа точечных зарядов есть сумма напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.
Инженерная практика подтверждает соблюдение принципа суперпозиции даже для очень больших напряженностей полей.
Значимым размером напряженности обладают поля в атомах и ядрах (порядка 10 11 - 10 17 В м), но и в этом случае применялся принцип суперпозиции для расчетов энергетических уровней. При этом наблюдалось совпадение результатов расчетов с данными экспериментов с большой точностью.
Все же следует также заметить, что в случае очень малых расстояний (порядка ~ 10 - 15 м) и экстремально сильных полей принцип суперпозиции, вероятно, не выполняется.
Пример 1
Например, на поверхности тяжелых ядер при напряженности порядка ~ 10 22 В м принцип суперпозиции выполняется, а при напряженности 10 20 В м возникают квантово-механические нелинейности взаимодействия.
Когда распределение заряда является непрерывным (т.е. отсутствует необходимость учета дискретности), совокупная напряженность поля задается формулой:
E → = ∫ d E → .
В этой записи интегрирование проводится по области распределения зарядов:
- при распределении зарядов по линии (τ = d q d l - линейная плотность распределения заряда) интегрирование проводится по линии;
- при распределении зарядов по поверхности (σ = d q d S - поверхностная плотность распределения) интегрирование проводится по поверхности;
- при объемном распределении заряда (ρ = d q d V - объемная плотность распределения) интегрирование проводится по объему.
Принцип суперпозиции дает возможность находить E → для любой точки пространства при известном типе пространственного распределения заряда.
Пример 2Заданы одинаковые точечные заряды q , расположенные в вершинах квадрата со стороной a . Необходимо определить, какая сила воздействует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.
Решение
На рисунке 1 проиллюстрируем силы, влияющие на любой из заданных зарядов в вершинах квадрата. Поскольку условием задано, что заряды одинаковы, для иллюстрации возможно выбрать любой из них. Сделаем запись суммирующей силы, влияющей на заряд q 1:
F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .
Силы F 12 → и F 14 → являются равными по модулю, определим их так:
F 13 → = k q 2 2 a 2 .
Рисунок 1
Теперь зададим направление оси О Х (рисунок 1), спроектируем уравнение F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → , подставим в него полученные выше модули сил и тогда:
F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Ответ: сила, оказывающее воздействие на каждый из заданных зарядов, находящихся в вершинах квадрата, равна F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .
Пример 3
Задан электрический заряд, распределенный равномерно вдоль тонкой нити (с линейной плотностью τ). Необходимо записать выражение, определяющее напряженность поля на расстоянии a от конца нити вдоль ее продолжения. Длина нити – l .
Рисунок 2
Решение
Первым нашим шагом будет выделение на нити точечного заряда d q . Составим для него, в соответствии с законом Кулона, запись, выражающую напряженность электростатического поля:
d E → = k d q r 3 r → .
В заданной точке все векторы напряженности имеют одинаковую направленность вдоль оси ОХ, тогда:
d E x = k d q r 2 = d E .
Условием задачи дано, что заряд имеет равномерное распределение вдоль нити с заданной плотностью, и запишем следующее:
Подставим эту запись в записанное ранее выражение напряженности электростатического поля, проинтегрируем и получим:
E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .
Ответ: напряженность поля в указанной точке будет определяться по формуле E = k τ l a (l + a) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Тела, имеющие определенный объем и линейные размеры, всегда занимают часть пространства, в котором не могут нахо-диться другие тела без изменения тех или иных характеристик. Там, где находится ка-мень, не может находиться ни другой ка-мень, ни металлический шар, ни любой другой вещественный объект.
Характерной особенностью электричес-кого поля является то, что, в отличие от ве-щества, в одной точке пространства могут находиться одновременно поля различных источников и различного происхождения. При этом каждое поле сохраняет свою ин-дивидуальность и ни одна из его характе-ристик не изменяется под влиянием другого поля. Одним из подтверждений этого явля-ется известный всем пример распростране-ния радиоволн, которые являются перемен-ным электромагнитным полем. Радиоволна, распространяющаяся с севера на юг, со-всем не влияет на волну, которая распро-страняется с запада на восток. И слушатель, принимая информацию, которую принесла первая волна, даже не догадывается, что эта волна «встретилась» с другой.
Подобное наблюдается и в том случае, когда есть определенная система заряжен-ных тел и соответствующих им полей.
Пусть в некоторой точке пространства A находится тело, имеющее положительный заряд Q 1 (рис. 4.33). Если в произвольную точку B внесем точечное тело с положи-тельным зарядом q 0 , то на него будет действовать сила F̅ 1 как результат взаимодей-ствия тела B с полем тела A.
В произвольную точку C внесем тело с зарядом Q 2 (рис. 4.34). Его поле будет действовать на тело B с силой F̅ 2 . Никаких изменений в значении силы F̅ 1 не произойдет. Но из механики известно, что, если на тело действует несколько сил, то их можно за-менить равнодействующей (рис. 4.35).
В случае нескольких источников элект-рического поля
F̅ = F̅ 1 + F̅ 2 + … + F̅ n .
Если левую и правую части уравнения разделить на q 0 , то получим
F̅ / q 0 = F̅ 1 / q 0 + F̅ 2 / q 0 + … + F̅ n / q 0 ,
E̅ = E̅ 1 + E̅ 2 + … + E̅ n .
Следовательно, при расчетах взаимодей-ствия заряженного тела с электрическими полями разных источников можно поль-зоваться понятием напряженности «суммар-ного» электрического поля. Этот вывод фор-мулируется как принцип суперпозиции по-лей . Материал с сайта
Принцип суперпозиции по-лей. Напряженность электрического поля си-стемы заряженных тел в любой точке рав-няется векторной сумме напряженностей по-лей отдельных тел в этой точке.
В математической форме этот принцип записывается так:
E̅ = E̅ 1 + E̅ 2 + … + E̅ n ,
где E̅ — напряженность поля системы заряженных тел; E̅ 1 , E̅ 2 … —напряженности по-лей каждого из тел, которые входят в си-стему.
Напряженность электрического поля тела, имеющего одинако-вое количество положительно и отрицательно заряженных ча-стиц, равняется нулю.
Принцип суперпозиции по-лей не огра-ничен количеством тел в системе. Именно поэтому напряженность электрического по-ля незаряженного тела, в состав которого входит огромное количество частиц с по-ложительными и отрицательными заряда-ми, практически равна нулю.
На этой странице материал по темам:
Как формулируется принцип суперпозиции полей
Принцип суперпозиции сил формула
Принцип суперпозиции электрических полей кратко
Принцип суперпозиции формула
Какое выражение является математической записью принципа суперпозиции полей?
Вопросы по этому материалу:
